TP: Implanter la fonction exponentielle (4/5)

Partie 4 : Calcul de l’exponentielle avec une précision relative fixée ♣

Vous aviez implanté une fonction expRang qui calcule une approximation de l’exponentielle en tronquant la somme à un certain rang décidé à l’avance. Cependant le rang nécessaire pour obtenir une bonne précision dépend du réel \(x\) pour lequel on veut calculer \(e^x\). On cherche maintenant à calculer une approximation de l’exponentielle en fixant la précision et non plus le rang. Pour cela on va écrire une nouvelle fonction d’approximation de l’exponentielle, dans laquelle le rang auquel on arrête la somme ne sera pas décidé à l’avance, mais dépendra de l’évolution du calcul qu’on est en train de faire.

Commencez par copier-coller dans les quatre cellules suivantes vos fonctions puissance et factorielle de la partie 1 ainsi que abs et egal de la partie 3:

// VOTRE CODE ICI
// VOTRE CODE ICI
// VOTRE CODE ICI
// VOTRE CODE ICI

Implantez une nouvelle fonction d’approximation de l’exponentielle qui somme les valeurs \(\frac{x^i}{i!}\) jusqu’à ce que le résultat soit égal au précédent par rapport à la précision donnée:

/** Calcul de la fonction exponentielle à precision fixée
 * @param x un nombre de type double
 * @param epsilon un nombre de type double
 * @return e^x avec précision epsilon
**/
double expPrecision(double x, double epsilon) {
    // VOTRE CODE ICI
}
double epsilon = 0.000000001

Le calcul suivant devrait renvoyer 2,718282:

expPrecision(1, epsilon)

Il n’y a pas forcément suffisament de chiffres significatifs affichés pour le vérifier. Faisons à la place un test:

CHECK( abs( expPrecision(1, epsilon) - 2.718282 ) < 1e-6 )
CHECK( abs( expPrecision(5, epsilon) - 148.413159 ) < 1e-6 )
CHECK( abs(expPrecision(3, epsilon) - 20.085537 ) < 1e-6 )

Comparez vos résultat avec la fonction exp de C++ définie dans cmath

#include <cmath>
exp(5)
exp(3)

Bilan de la partie 4

Très bien, vous avez implanté le calcul de la fonction exponentielle à précision fixée. Maintenant étudions sa performance en calculant son temps d’exécution:

%timeit expPrecision(10, 0.00000001);

Dans la partie 5, vous tenterez d’optimiser cette implantation.