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Dans un premier volet, issu de ma thèse, j'utilise des outils d'algèbre commutative, et notamment de théorie des invariants, pour étudier des problèmes d'isomorphisme en combinatoire. Je m'intéresse tout d'abord aux algèbres d'invariants de graphes en lien avec la conjecture de reconstruction de Ulam puis, plus généralement, aux algèbres d'âges des structures relationnelles. Cela pose en retour des problèmes algorithmiques et structurels en théorie des invariants des groupes de permutations.
Dans un deuxième volet, le leitmotiv est la recherche de modèles combinatoires simples (mais riches!) pour décrire des structures algébriques et leurs représentations. Cela inclut notamment les algèbres de Hecke groupe que j'ai associées aux groupes de Coxeter (en lien avec les algèbres de Hecke affine), mais aussi les algèbres de Kac de dimension finie (en lien avec les inclusions de facteurs) et les algèbres de Steenrod. Outre un aspect concret et effectif, de tels modèles apportent un éclairage sur certains phénomènes algébriques, et en particulier des démonstrations élégantes et élémentaires.
Mon outil principal est l'exploration informatique. Aussi, les aspects algorithmiques et effectifs tiennent une place particulière dans ce mémoire. En effet, je coordonne le développement du projet logiciel international *-Combinat depuis sa création en 2000. Sa mission est de fournir une boîte à outils extensible pour l'exploration informatique en combinatoire algébrique, et promouvoir la mutualisation de code entre les chercheurs de ce domaine. Je détaille notamment les défis particuliers rencontrés lors de son développement, et les solutions originales que ceux-ci m'ont amené à mettre au point, tant du point de vue de l'algorithmique que de la conception ou du choix du modèle de développement.
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