Exercice : Nombres Complexes

À faire

2025-2026

Extraire le code dans un fichier pour le compiler.

On rappelle qu’un nombre complexe est un nombre qui s’écrit \(a+ib\) où \(a\) est appelé partie réelle et \(b\) partie imaginaire. Il faudra systématiquement passer deux float, pour passer un nombre complexe en paramètre.

Attention, dans tout cet exercice, faire bien attention à quels sont les paramètres qui sont des résultats et quels sont ceux qui sont des données.

1. Définissez une procédure saisie qui demande à l’utilisateur d’entrer un nombre complexe, et qui a pour résultat le nombre complexe entré par l’utilisateur.

   BEGIN SOLUTION

   void saisie(double &r, double &i) {
       cout << "Partie réelle : " << endl;
       cin >> r;
       cout << "Partie imaginaire : " << endl;
       cin >> i;
   }
   

   END SOLUTION

2. Définissez une procédure affiche qui affiche un nombre complexe.

   BEGIN SOLUTION

   void affiche(double r, double i) {
       if (i >= 0)
           cout << r << "+" << i << "i" << endl;
       else
           cout << r << "-" << -i << "i" << endl;
   }
   

   END SOLUTION

3. Définissez une procédure somme qui calcule la somme de deux nombres complexes.

   BEGIN SOLUTION

   void somme(double r1, double i1,
          double r2, double i2,
          double &sommer, double &sommei) {
       sommer = r1 + r2;
       sommei = i1 + i2;
   }
   

   END SOLUTION

4. Définissez une procédure produit qui calcule le produit de deux nombres complexes. On rappelle que \((a+ib)\times(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc)\).

   BEGIN SOLUTION

   void produit(double r1, double i1,
            double r2, double i2,
            double &prodr, double &prodi) {
       prodr = r1*r2 - i1*i2;
       prodi = i1*r2 + i2*r1;
   }
   

   END SOLUTION

5. Définissez une fonction norme_carre qui renvoie le carré de la norme d’un nombre complexe. On rappelle que $\(|a+ib|^2 = a^2+b^2\,.\)$

   BEGIN SOLUTION

   double norme_carree(double r, double i) {
       return r*r + i*i;
   }
   

   END SOLUTION

6. Définissez une procédure inverse qui renvoie l’inverse d’un nombre complexe. On rappelle que $\({1\over a+ib} = {a-ib\over|a+ib|^2}\,.\)$

   BEGIN SOLUTION

   void inverse(double r, double i, double &invr, double &invi) {
       double norme;
       norme = norme_carree(r, i);
       if (norme == 0) {
           cout << "Inverse de 0";
           exit(1);
       }
       invr = r/norme;
       invi = -i/norme;
   }
   

   END SOLUTION

7. Difficile : L’algorithme de calcul de la racine carrée fonctionne en général sur les nombres complexes \(z = a+ib\): la suite

   \[u_0 := z, \qquad u_{n+1} := {u_n + z / u_n\over2}\]

   converge (presque toujours, voir la question suivante) vers une racine carrée de \(z\). Définissez une procédure racine qui calcule la racine carrée d’un nombre complexe. On considère que l’approximation \(u\) est correcte si $\({|u^2-z|\over|a|} < 10^{-6}\,, \qquad\hbox{c'est-à-dire si}\qquad {|u^2-z|^2\over|z|^2} < 10^{-12}\,.\)$

   BEGIN SOLUTION

   double erreur(double ur, double ui, double ar, double ai) {
       double u2r, u2i;
       double sommer, sommei;
       produit(ur, ui, ur, ui, u2r, u2i);
       somme(u2r, u2i, -ar, -ai, sommer, sommei);
       return norme_carree(sommer, sommei) / norme_carree(ar, ai);
   }
   void racine_carree(double ar, double ai, double &raciner, double &racinei) {
       double unr, uni;
       double invr, invi;
       double prodr, prodi;
       double sommer, sommei;
       unr = ar;
       uni = ai;
       while (erreur(unr, uni, ar, ai) >= epsilon*epsilon) {
           inverse(unr, uni, invr, invi);
           produit(ar, ai, invr, invi, prodr, prodi);
           somme(unr, uni, prodr, prodi, sommer, sommei);
           unr = 1.0/2.0*sommer;
           uni = 1.0/2.0*sommei;
       }
       raciner = unr;
       racinei = uni;
   }
   

   END SOLUTION

8. Difficile : En fait, la suite précédente ne converge pas dans le cas particulier où \(a\) est un réel négatif. On pourra dans ce cas choisir \(u_0 = a + i\epsilon\). Modifier le programme en conséquence.

   BEGIN SOLUTION

   if (ai == 0 && ar < 0) uni += epsilon;
   

   END SOLUTION