TP : implanter la fonction exponentielle (1/5)

Imaginez que vous développez la nouvelle librairie de fonctions mathématiques du C++. Au départ, les seules opérations auxquelles vous avez le droit sont les opérations arithmétiques usuelles telles que + * / %. Notre but aujourd’hui est d’écrire la fonction qui calcule \(e^x\).

Pour cela, on utilise la définition de \(e^x\) en tant que série (somme infinie) :

\[e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\]

On remarque que l’on a besoin en particulier de calculer \(x^n\) ainsi que \(n!\). Ce sera l’objet de la première partie. Dans la deuxième partie, on calculera une approximation de la fonction exponentielle en la tronquant à un nombre de terme fixé; par exemple : \(e^x \approx 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\)

La précision d’une telle approximation dépend beaucoup de la valeur de \(x\). Dans la partie 4 on utilisera une méthode adaptative : on fixera cette fois la précision relative souhaitée et on calculera autant de termes que nécessaire pour atteindre cette précision. Pour cela on aura préalablement défini – et implanté ! – dans la partie 3 ce que l’on entend par précision relative.

Partie 1 : fonctions puissance et factorielle

Le but de cette partie est d’écrire les fonctions factorielle et puissance (vues en TD) et de vérifier que l’on obtient bien les résultats attendus. Complétez la fonction factorielle ci-dessous puis vérifiez les résultats des cellules suivantes :

/** Factorielle
 * @param n un entier
 * @return la valeur n! en tant que double
**/
double factorielle(int n) {
    // Remplacer cette ligne et la suivante par le code adéquat
    throw runtime_error("Code non implanté");
}

factorielle(5)

CHECK( factorielle(0) == 1   );   // Par convention mathématique
CHECK( factorielle(3) == 6   );
CHECK( factorielle(4) == 24  );
CHECK( factorielle(5) == 120 );

Vérifiez l’ordre de grandeur du calcul suivant. Si la valeur est aberrante, vérifiez l’utilisation du type double à toutes les étapes du calcul.

factorielle(100)

Complétez la fonction puissance ci-dessous puis vérifiez les résultats des cellules suivantes :

/** Puissance
 * @param x un nombre de type double
 * @param n un entier
 * @return le nombre x^n de type double
**/
double puissance(double x, int n) {
    // Remplacer cette ligne et la suivante par le code adéquat
    throw runtime_error("Code non implanté");
}

puissance(2, 4)

CHECK( puissance(1,  10) == 1     );
CHECK( puissance(2,   5) == 32    );
CHECK( puissance(1.5, 3) == 3.375 );

Ajoutez des tests (toujours avec CHECK) pour vérifier les cas limites : vérifiez (pour une valeur de x de votre choix) que \(x^0\) vaut \(1\), que \(0^r\) vaut 0 pour \(r\) non nul, et que \(0^0\) vaut \(1\) :

// Remplacer cette ligne et la suivante par le code adéquat
throw runtime_error("Code non implanté");

Bilan de la partie 1

Vous avez maintenant les prérequis pour implanter la fonction exponentielle. Vous pouvez maintenant passer à la partie 2.